だから僕らは がんばって挑戦だよね

P10656 题解

  • ~8.45K 字
  1. 1. 分析
  2. 2. 代码
  3. 3. 闲话

分析

注意到一定存在包含 xx 中 ∑j=1ixj≥∑x\sum_{j=1}^ix_j\geq\sum x 的第一个 ii 的最优方案。因为如果不包含，也就是 xx 和 yy 选择的两段都小于各自的 ∑\sum，那么把 xx 和 yy 中 ∑\sum 大的那一个全选更优。对于 yy 同理。

也就是已经知道常数个位置中的某个会被包含在最优方案，枚举这个位置，假设在 THU 且为 pp，那么对于 PKU 的 [l,r][l,r] 区间，由于相同不能选，就把 THU 切成了很多段，每段都是能选的区间，而 pp 一定被选，所以就是 pp 所在的那段是答案。

根据 PKU 的选择区间 [l,r][l,r] 可以求出 THU 的 选择区间 [L,R][L,R]。具体的，i∈[l,r]i\in[l,r]，THU 的 jj 和 ii 相同

  • j>pj>p，R←min⁡(R,j−1)R\leftarrow \min(R,j-1)，
  • j>pj>p，L←max⁡(L,j+1)L\leftarrow \max(L,j+1)，

那么对 PKU 做一个扫描线，需要支持前缀取 max⁡\max 和 min⁡\min 和求前缀最值。显然 L,RL,R 分别都是单调的，修改的都是一段区间，用线段树解决，递归到能修改才修改，复杂度为 O(log⁡n)O(\log n)。

代码

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#include <iostream>
#include <array>
#include <set>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

namespace fastio{
    struct{template<typename T>operator T(){
        T x=0;char f=0,c=getchar();
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=getchar();}
        return f?-x:x;
    }}in;int stk[39],tp;
    template<typename T>void out(T x,char c=0){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        do stk[tp++]=x%10;while(x/=10);
        while(tp)putchar(stk[--tp]^48);
        if(c)putchar(c);
    }
}using fastio::in;using fastio::out;

const int N = 500005;
int a[N],x[N],b[N],y[N];
int p[N*2];
int n,m;

class segtree{
    private:
        struct{int l,r,tl,tr;pair<int,int> vl,vr,v;int L;} tr[N*4];

        void modify_l(int u,int v){
            tr[u].l = tr[u].tl = v;
            tr[u].v = {tr[u].vr.first-x[v-1],tr[u].vr.second};
            tr[u].vl = {-x[v-1]-y[tr[u].L-1],tr[u].L};
        }

        void modify_r(int u,int v){
            tr[u].r = tr[u].tr = v;
            tr[u].v = {tr[u].vl.first+x[v],tr[u].vl.second};
            tr[u].vr = {x[v]-y[tr[u].L-1],tr[u].L};
        }

        void pushdown(int u){
            if(tr[u].tl){
                modify_l(u<<1,tr[u].tl);
                modify_l(u<<1|1,tr[u].tl);
                tr[u].tl = 0;
            }
            if(tr[u].tr){
                modify_r(u<<1,tr[u].tr);
                modify_r(u<<1|1,tr[u].tr);
                tr[u].tr = 0;
            }
        }

        void pushup(int u){
            tr[u].l = max(tr[u<<1].l,tr[u<<1|1].l);
            tr[u].r = min(tr[u<<1].r,tr[u<<1|1].r);
            tr[u].vl = max(tr[u<<1].vl,tr[u<<1|1].vl);
            tr[u].vr = max(tr[u<<1].vr,tr[u<<1|1].vr);
            tr[u].v = max(tr[u<<1].v,tr[u<<1|1].v);
        }
    public:
        void build(int u,int l,int r){
            tr[u].L = l;
            tr[u].tl = tr[u].tr = 0;
            if(l==r){
                tr[u].l = 1;
                tr[u].r = n;
                tr[u].vl = {-y[l-1],l};
                tr[u].vr = {x[n]-y[l-1],l};
                tr[u].v = {x[n]-y[l-1],l};
                return;
            }
            int mid = (l+r)>>1;
            build(u<<1,l,mid);
            build(u<<1|1,mid+1,r);
            pushup(u);
        }

        void modify_l(int u,int l,int r,int R,int v){
            if(r>R){
                pushdown(u);
                int mid = (l+r)>>1;
                modify_l(u<<1,l,mid,R,v);
                if(mid<R)
                    modify_l(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
                pushup(u);
                return;
            }
            if(tr[u].l<=v){
                modify_l(u,v);
                return;
            }
            if(l==r)
                return;
            pushdown(u);
            int mid = (l+r)>>1;
            if(tr[u<<1|1].l<v)
                modify_l(u<<1,l,mid,R,v);
            modify_l(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
            pushup(u);
        }

        void modify_r(int u,int l,int r,int R,int v){
            if(r>R){
                pushdown(u);
                int mid = (l+r)>>1;
                modify_r(u<<1,l,mid,R,v);
                if(mid<R)
                    modify_r(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
                pushup(u);
                return;
            }
            if(tr[u].r>=v){
                modify_r(u,v);
                return;
            }
            if(l==r)
                return;
            pushdown(u);
            int mid = (l+r)>>1;
            if(tr[u<<1|1].r>v)
                modify_r(u<<1,l,mid,R,v);
            modify_r(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
            pushup(u);
        }

        pair<int,int> query(int u,int l,int r,int R){
            if(r<=R)
                return tr[u].v;
            pushdown(u);
            int mid = (l+r)>>1;
            if(tr[u<<1|1].L<=R)
                return max(tr[u<<1].v,query(u<<1|1,mid+1,r,R));
            return query(u<<1,l,mid,R);
        }
}tr;

int L[N],r[N];

array<int,5> solve(int xp){
    array<int,3> ans = {};
    tr.build(1,1,m);
    for(int k=1;k<=m;k++){
        if(p[b[k]]>xp)
            tr.modify_r(1,1,m,k,p[b[k]]-1);
        else if(p[b[k]])
            tr.modify_l(1,1,m,k,p[b[k]]+1);
        auto [w,l] = tr.query(1,1,m,k);
        if(w+y[k]>ans[0])
            ans = {w+y[k],l,k};
    }

    auto complete = [&](array<int,3> v) -> array<int,5> {
        int l = 1,r = n;
        for(int k=v[1];k<=v[2];k++){
            if(p[b[k]]>xp)
                r = min(r,p[b[k]]-1);
            else
                l = max(l,p[b[k]]+1);
        }
        return {v[0],v[1],v[2],l,r};
    };

    return complete(ans);
}

signed main(){
    n = in,m = in;
    for(int k=1;k<=n;k++)
        p[a[k] = in] = k;
    for(int k=1;k<=n;k++)
        x[k] = x[k-1]+(int)in;
    for(int k=1;k<=m;k++)
        b[k] = in;
    for(int k=1;k<=m;k++)
        y[k] = y[k-1]+(int)in;

    array<int,5> ans1 = {};
    for(int k=1;k<=n;k++){
    
        if(x[k]*2>=x[n]){
            ans1 = max(ans1,solve(k));
            break;
        }
        if(x[k]*2==x[n]){
            ans1 = max({ans1,solve(k),solve(k+1)});
            break;
        }
    }

    swap(n,m);
    swap(a,b);
    swap(x,y);
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int k=1;k<=n;k++)
        p[a[k]] = k;


    array<int,5> ans2 = {};

    for(int k=1;k<=n;k++){
        if(x[k]*2>=x[n]){
            ans2 = max(ans2,solve(k));
            break;
        }
        if(x[k]*2==x[n]){
            ans2 = max({ans2,solve(k),solve(k+1)});
            break;
        }
    }

    if(max(x[n],y[m])>=max(ans1[0],ans2[0])){
        if(x[n]>y[m]){
            out(x[n],'\n');
            puts("0 0");
            out(1,' '),out(n);
        }
        else{
            out(y[m],'\n');
            out(1,' '),out(m,'\n');
            puts("0 0");
        }
    }
    else if(ans1[0]>ans2[0]){
        out(ans1[0],'\n');
        out(ans1[3],' '),out(ans1[4],'\n');
        out(ans1[1],' '),out(ans1[2]);
    }
    else{
        out(ans2[0],'\n');
        out(ans2[1],' '),out(ans2[2],'\n');
        out(ans2[3],' '),out(ans2[4]);
    }
    return 0;
}

闲话

注意 PKU 和 THU 的第一个超过一半的位置都要算，刚好等于一半的话 i+1i+1 也要计算。记录方案可以只记录一半，另一半可以之后算出来。

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