P10656 题解

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  1. 1. 分析
  2. 2. 代码
  3. 3. 闲话

分析

注意到一定存在包含 xxj=1ixjx\sum_{j=1}^ix_j\geq\sum x 的第一个 ii 的最优方案。因为如果不包含,也就是 xxyy 选择的两段都小于各自的 \sum,那么把 xxyy\sum 大的那一个全选更优。对于 yy 同理。

也就是已经知道常数个位置中的某个会被包含在最优方案,枚举这个位置,假设在 THU 且为 pp,那么对于 PKU 的 [l,r][l,r] 区间,由于相同不能选,就把 THU 切成了很多段,每段都是能选的区间,而 pp 一定被选,所以就是 pp 所在的那段是答案。

根据 PKU 的选择区间 [l,r][l,r] 可以求出 THU 的 选择区间 [L,R][L,R]。具体的,i[l,r]i\in[l,r],THU 的 jjii 相同

  • j>pj>pRmin(R,j1)R\leftarrow \min(R,j-1)
  • j>pj>pLmax(L,j+1)L\leftarrow \max(L,j+1)

那么对 PKU 做一个扫描线,需要支持前缀取 max\maxmin\min 和求前缀最值。显然 L,RL,R 分别都是单调的,修改的都是一段区间,用线段树解决,递归到能修改才修改,复杂度为 O(logn)O(\log n)

代码

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#include <iostream>
#include <array>
#include <set>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

namespace fastio{
struct{template<typename T>operator T(){
T x=0;char f=0,c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=getchar();}
return f?-x:x;
}}in;int stk[39],tp;
template<typename T>void out(T x,char c=0){
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
do stk[tp++]=x%10;while(x/=10);
while(tp)putchar(stk[--tp]^48);
if(c)putchar(c);
}
}using fastio::in;using fastio::out;

const int N = 500005;
int a[N],x[N],b[N],y[N];
int p[N*2];
int n,m;

class segtree{
private:
struct{int l,r,tl,tr;pair<int,int> vl,vr,v;int L;} tr[N*4];

void modify_l(int u,int v){
tr[u].l = tr[u].tl = v;
tr[u].v = {tr[u].vr.first-x[v-1],tr[u].vr.second};
tr[u].vl = {-x[v-1]-y[tr[u].L-1],tr[u].L};
}

void modify_r(int u,int v){
tr[u].r = tr[u].tr = v;
tr[u].v = {tr[u].vl.first+x[v],tr[u].vl.second};
tr[u].vr = {x[v]-y[tr[u].L-1],tr[u].L};
}

void pushdown(int u){
if(tr[u].tl){
modify_l(u<<1,tr[u].tl);
modify_l(u<<1|1,tr[u].tl);
tr[u].tl = 0;
}
if(tr[u].tr){
modify_r(u<<1,tr[u].tr);
modify_r(u<<1|1,tr[u].tr);
tr[u].tr = 0;
}
}

void pushup(int u){
tr[u].l = max(tr[u<<1].l,tr[u<<1|1].l);
tr[u].r = min(tr[u<<1].r,tr[u<<1|1].r);
tr[u].vl = max(tr[u<<1].vl,tr[u<<1|1].vl);
tr[u].vr = max(tr[u<<1].vr,tr[u<<1|1].vr);
tr[u].v = max(tr[u<<1].v,tr[u<<1|1].v);
}
public:
void build(int u,int l,int r){
tr[u].L = l;
tr[u].tl = tr[u].tr = 0;
if(l==r){
tr[u].l = 1;
tr[u].r = n;
tr[u].vl = {-y[l-1],l};
tr[u].vr = {x[n]-y[l-1],l};
tr[u].v = {x[n]-y[l-1],l};
return;
}
int mid = (l+r)>>1;
build(u<<1,l,mid);
build(u<<1|1,mid+1,r);
pushup(u);
}

void modify_l(int u,int l,int r,int R,int v){
if(r>R){
pushdown(u);
int mid = (l+r)>>1;
modify_l(u<<1,l,mid,R,v);
if(mid<R)
modify_l(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
pushup(u);
return;
}
if(tr[u].l<=v){
modify_l(u,v);
return;
}
if(l==r)
return;
pushdown(u);
int mid = (l+r)>>1;
if(tr[u<<1|1].l<v)
modify_l(u<<1,l,mid,R,v);
modify_l(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
pushup(u);
}

void modify_r(int u,int l,int r,int R,int v){
if(r>R){
pushdown(u);
int mid = (l+r)>>1;
modify_r(u<<1,l,mid,R,v);
if(mid<R)
modify_r(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
pushup(u);
return;
}
if(tr[u].r>=v){
modify_r(u,v);
return;
}
if(l==r)
return;
pushdown(u);
int mid = (l+r)>>1;
if(tr[u<<1|1].r>v)
modify_r(u<<1,l,mid,R,v);
modify_r(u<<1|1,mid+1,r,R,v);
pushup(u);
}

pair<int,int> query(int u,int l,int r,int R){
if(r<=R)
return tr[u].v;
pushdown(u);
int mid = (l+r)>>1;
if(tr[u<<1|1].L<=R)
return max(tr[u<<1].v,query(u<<1|1,mid+1,r,R));
return query(u<<1,l,mid,R);
}
}tr;

int L[N],r[N];

array<int,5> solve(int xp){
array<int,3> ans = {};
tr.build(1,1,m);
for(int k=1;k<=m;k++){
if(p[b[k]]>xp)
tr.modify_r(1,1,m,k,p[b[k]]-1);
else if(p[b[k]])
tr.modify_l(1,1,m,k,p[b[k]]+1);
auto [w,l] = tr.query(1,1,m,k);
if(w+y[k]>ans[0])
ans = {w+y[k],l,k};
}

auto complete = [&](array<int,3> v) -> array<int,5> {
int l = 1,r = n;
for(int k=v[1];k<=v[2];k++){
if(p[b[k]]>xp)
r = min(r,p[b[k]]-1);
else
l = max(l,p[b[k]]+1);
}
return {v[0],v[1],v[2],l,r};
};

return complete(ans);
}

signed main(){
n = in,m = in;
for(int k=1;k<=n;k++)
p[a[k] = in] = k;
for(int k=1;k<=n;k++)
x[k] = x[k-1]+(int)in;
for(int k=1;k<=m;k++)
b[k] = in;
for(int k=1;k<=m;k++)
y[k] = y[k-1]+(int)in;

array<int,5> ans1 = {};
for(int k=1;k<=n;k++){

if(x[k]*2>=x[n]){
ans1 = max(ans1,solve(k));
break;
}
if(x[k]*2==x[n]){
ans1 = max({ans1,solve(k),solve(k+1)});
break;
}
}

swap(n,m);
swap(a,b);
swap(x,y);
memset(p,0,sizeof(p));
for(int k=1;k<=n;k++)
p[a[k]] = k;


array<int,5> ans2 = {};

for(int k=1;k<=n;k++){
if(x[k]*2>=x[n]){
ans2 = max(ans2,solve(k));
break;
}
if(x[k]*2==x[n]){
ans2 = max({ans2,solve(k),solve(k+1)});
break;
}
}

if(max(x[n],y[m])>=max(ans1[0],ans2[0])){
if(x[n]>y[m]){
out(x[n],'\n');
puts("0 0");
out(1,' '),out(n);
}
else{
out(y[m],'\n');
out(1,' '),out(m,'\n');
puts("0 0");
}
}
else if(ans1[0]>ans2[0]){
out(ans1[0],'\n');
out(ans1[3],' '),out(ans1[4],'\n');
out(ans1[1],' '),out(ans1[2]);
}
else{
out(ans2[0],'\n');
out(ans2[1],' '),out(ans2[2],'\n');
out(ans2[3],' '),out(ans2[4]);
}
return 0;
}

闲话

注意 PKU 和 THU 的第一个超过一半的位置都要算,刚好等于一半的话 i+1i+1 也要计算。记录方案可以只记录一半,另一半可以之后算出来。